 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 επόμενο: Άσκηση 2η
 εμφάνιση: Συνάρτηση και γραφική παράσταση
 προηγούμενο: Συνάρτηση και γραφική παράσταση
     Πίνακας περιεχομένων 
     Ευρετήριο 
Έστω η (πραγματική) συνάρτηση  f  από το  -{3} στο
-{3} στο  που ορίζεται ως:
 
που ορίζεται ως:
f (x) = (x + 1)ln| x - 3|.
- Υπολογίστε την πρώτη παράγωγο  f'(x) και την δεύτερη 
παράγωγο 
f''(x) της  f(x).
- Υπολογίστε τα όρια της  f'(x) στο -  και στο 3 από αριστερά. και στο 3 από αριστερά.
- Αποδείξτε ότι η  f'(x) μηδενίζεται μία φορά, στο σημείο 
  του ανοικτού διαστήματος 
] - του ανοικτού διαστήματος 
] - , 3[.
Υπολογίστε το διάστημα πλάτους 0.1 που περιέχει το , 3[.
Υπολογίστε το διάστημα πλάτους 0.1 που περιέχει το . .
- Μελετήστε το πρόσημο της  f'(x) στο  -{3} και συμπεράνετε τις μεταβολές της  f(x). -{3} και συμπεράνετε τις μεταβολές της  f(x).
- Σχεδιάστε την γραφική παράσταση C της f(x) 
σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων (μονάδος 1cm).
- Υπολογίστε, σε cm2,  το εμβαδόν της περιοχής 
με σύνορα την καμπύλη C, τον άξονα  των x
 και τις ευθείες με εξισώσεις x = - 1 και x = 2.
Απαντήσεις
- Για να ορίσουμε την συνάρτηση  f(x) πληκτρολογούμε:
 
 
 f(x):=(x+1)*ln(abs(x-3))
 
 Για την συνάρτηση   f'(x) πρώτα πληκτρολογούμε:
 
 
 f1:=function_diff(f):;
 
 και στην συνέχεια,
 
 
 f1(x)
 
 για να πάρουμε:
 
 
 ln(abs(x-3))+(x+1)/(x-3)
 
 Άρα
f'(x) = ln(| x - 3|) + . .
 Τέλος, για την συνάρτηση  f''(x) πρώτα πληκτρολογούμε:
 
 
 f2:=function_diff(f1):;
 
 και στην συνέχεια,
 
 
 f2(x)
 για να πάρουμε :
 
 
 1/(x-3)+1/(x-3)+(x+1)*(-(1/((x-3)^2)))
 
 Την τελευταία παράσταση μπορούμε να την  απλοποιήσουμε πληκτρολογώντας 
πρώτα:
 
 
 normal(f2(x))
 για να πάρουμε :
 
 
 (x-7)/(x^2-6*x+9)
 
 και στην συνέχεια την παραγοντοποιούμε, πληκτρολογώντας:
 
 
 factor(f2(x))
 για να πάρουμε :
 
 
(x-7)/((x-3)^2)
 
 Άρα
f''(x) =  
 
- Για να βρούμε το όριο της  f'(x) στο -  πληκτρολογούμε: πληκτρολογούμε:
 
 
 limit(f1(x),x,-infinity)
 
 και βλέπουμε πως είναι το +άπειρο :
 
 
 +infinity
 
 Για να πάρουμε το όριο της f'(x) στο 3 από 
αριστερά πληκτρολογούμε:
 
 
 limit(f1(x),x,3,-1)
 
 και βλέπουμε πως είναι το -άπειρο:
 
 
 -infinity
 
 
- 
Προσέξτε πως 
η  f''(x) < 0 στο διάστημα 
] -  , 3[, με συνέπεια η
  f'(x) να είναι συνεχής και φθίνουσα στο διάστημα 
  αυτό. Επιπλέον είδαμε στην δεύτερη ερώτηση πως οι τιμές της 
f'(x) στα άκρα του διαστήματος 
] - , 3[, με συνέπεια η
  f'(x) να είναι συνεχής και φθίνουσα στο διάστημα 
  αυτό. Επιπλέον είδαμε στην δεύτερη ερώτηση πως οι τιμές της 
f'(x) στα άκρα του διαστήματος 
] - , 3[ είναι αντίθετες.  
  Υπάρχει λοιπόν ένα μοναδικό , 3[ είναι αντίθετες.  
  Υπάρχει λοιπόν ένα μοναδικό στο διάστημα 
] - στο διάστημα 
] - , 3[ έτσι ώστε 
f'( , 3[ έτσι ώστε 
f'( ) = 0. ) = 0.
 Για να βρούμε την προσεγγιστική τιμή του πληκτρολογούμε: πληκτρολογούμε:
 fsolve(f1(x),x)
 
 και βλέπουμε πως το είναι : είναι :
 
 0.776592890991
 
 Για να βρούμε τώρα το διάστημα πλάτους 0.1 που περιέχει το πληκτρολογούμε: πληκτρολογούμε:
 [f1(0.7), f1(0.8)]
 
 και παίρνουμε:
 
 
 [0.0937786881525,-0.0297244578175] 
 
 Βλέπουμε λοιπόν πως f'(0.7) = f1(0.7) > 0 και 
f'(0.8) = f1(0.8) < 0, και άρα 
0.7 < < 0;8. < 0;8.
- Επειδή f''(7) = 0, βλέπουμε πως το ελάχιστο της 
f'(x) στο διάστημα 
]3, +  [  είναι f'(7). Πληκτρολογώντας: [  είναι f'(7). Πληκτρολογώντας:
 
 
 f1(7)
 
 παίρνουμε:
 
 
 ln(4)+2
 
 που σημαίνει πως το ελάχιστο της f'(x) στο
]3, + [ είναι  θετικό.
Άρα f'(x) > 0 εάν 
x [ είναι  θετικό.
Άρα f'(x) > 0 εάν 
x ] - ] - , , [ [ ]3, + ]3, + [  
και f'(x) < 0 εάν 
x [  
και f'(x) < 0 εάν 
x ] ] , 3[ και συνεπώς
 η  f(x) είναι αύξουσα στο  
 ] - , 3[ και συνεπώς
 η  f(x) είναι αύξουσα στο  
 ] - , , [ [ ]3, + ]3, + [  και 
είναι φθίνουσα στο
 ] [  και 
είναι φθίνουσα στο
 ] , 3[. , 3[.
- 
Για να σχεδιάζουμε την γραφική παράσταση της f(x)
 και των δύο ευθειών x = - 1 και x = 2, πληκτρολογούμε:
 
 
 
 plotfunc(f(x),x=-14..14);line(x=-1);line(x=2)
 
 
- Για να βρούμε το εμβαδόν της καθορισμένης περιοχής σε cm2 
πληκτρολογούμε:
 
 
 integrate(f(x),x,-1,2)
 
 και παίρνουμε σαν αποτέλεσμα:
 
 
 8*ln(4)-12+15/4
 
 το οποίο στην συνέχεια φέρνουμε στην κανονική του μορφή πληκτρολογώντας:
 
 
 normal(8*ln(4)-12+15/4))
 
 για να πάρουμε:
 
 
 8*ln(4)-33/4
 
 Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι  
(8*ln(4) - 33/4)cm2;
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 επόμενο: Άσκηση 2η
 εμφάνιση: Συνάρτηση και γραφική παράσταση
 προηγούμενο: Συνάρτηση και γραφική παράσταση
     Πίνακας περιεχομένων 
     Ευρετήριο  
  
  
Βιβλιογραφία του giac από τους Renee De Graeve, Bernard Parisse και Bernard Ycart
Μετάφραση στα Ελληνικά : Γιώργος Νασόπουλος. Διασκευή : Αλκιβιάδης Γ. Ακρίτας